Fonction constante sur un intervalle

Définition

​​​​​Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
On dit que \(f\) est constante sur \(I\) si, pour tout couple \((a;b)\) d'éléments de \(I\), on a \(f(a)= f(b)\).

Propriété

Une fonction \(f\) est constante sur un intervalle \(I\) si et seulement s'il existe un réel \(p\) tel que, pour tout réel \(x\) de \(I\), on a \(f(x)=p\).

Exemple

La fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=3\) est une fonction constante.
Quels que soient les nombres réels choisis \(a\) et \(b\), on a \(f(a)=f(b)=3\).

Remarque

La fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2\) n'est pas une fonction constante.
En effet, \(f(-1)=(-1)^2=1\) et \(f(2)=2^2=4\).
Donc il existe deux nombres \(a=-1\) et \(b=2\) tels que \(f(a)\neq f(b)\).

Propriété

Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses.